Determinan Matematika Lanjutan Matriks
Hy Guyssss
masih lanjut dengan Matriks yaaa , dibaca dan dipahami
Mari Kita Belajar bersama - sama 😊😉
A. Determinan
1. Pengertian determinan adalah :
Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular.
Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Jika diberikan matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.
A=
Maka determinan untuk matrik A adalah :
Contoh Soal:
Tentukan nilai determinan matriks
A=
Pembahasan:
│A│= 2.7 - 4.6 = 14 – 24 = - 10
Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Untuk matriks yang berordo lebih tinggi (matriks 3x3), cara untuk mendapatkan determinannya adalah dengan cara :
a. Metode Sarrus.
Contoh :
b. Minor dan Kofaktor
Dapat dibentuk suatu sub determinan dari matriks yang disebut sebagai minor . Sehingga Minor │Mu│ adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut.
Dimana │M11│ adalah minor dari a11 ; │M12│adalah minor dari a12 dan │M13│ adalah madalah minor dariinor dari a13 , dan seterusnya.
Apabila suatu minor diberi tambahan tanda (-1)i+j, maka disebut kofaktor │C Ü│
Maka
; jika jumlah i+j genap maka │C Ü│= │MÜ│, karena (-1) dipangkatkan dengan bilangan genap akan sama dengan 1.
Sedangkan jika jumlah i+j adalah ganjil maka │C Ü│= │MÜ│ , karena jika (-1) dipangkatkan dengan bilangan negatif maka hasilnya akan sama dengan (-1).
Contoh :
Kofaktor
C11 = (-1)2 M11 = +2 = 2 C21 = (-1)3 M21 = - 4 = - 4
C12 = (-1)3 M12 = -0 = 0 C22 = (-1)4 M22 = +(- 2) = - 2
C13 = (-1)4 M13 = +0 = 0 C23 = (-1)5 M23 = - 0 = 0
C31 = (-1)4 M31 = +(-10) = - 10
C32 = (-1)5 M32 = - 3 = - 3
C33 = (-1)6 M33 = +(-2) = - 2
2. Sifat-sifat Determinan
Sifat-sifat determinan ada enam ya guysss, yaitu :
1. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A)=det (At).
Contoh :
2. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.
Contoh :
3. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.
Contoh :
4. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemen-elemen dari diagonal utama.
Contoh :
5. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.
Contoh :
6. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.
Contoh :
3. Ekspansi Laplace
Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :
menggunakan baris 1
Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.
Tanda-tanda kofaktor secara berurutan adalah :
Contoh :
Contoh
Kofaktor
C11 = (-1)2 M11 = +2 = 2 C21 = (-1)3 M21 = - 4 = - 4
C12 = (-1)3 M12 = -0 = 0 C22 = (-1)4 M22 = +(- 2) = - 2
C13 = (-1)4 M13 = +0 = 0 C23 = (-1)5 M23 = - 0 = 0
C31 = (-1)4 M31 = +(-10) = - 10
C32 = (-1)5 M32 = - 3 = - 3
C33 = (-1)6 M33 = +(-2) = - 2
4. Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoint
Matriks kofaktor adalah suatu matriks dimana setiap elemen aij diganti dengan kofaktornya │C Ü│, sehingga disebut matriks kofaktor. Matriks adjoint adalah transpose dari suatu matriks kofaktor.
Misalnya sebuah matriks kofaktor dari matriks A;
5. Matriks Balikan (invers)
1. Mencari Invers dengan Matriks Adjoint
Inverse Matriks (matriks balikan) A-1 hanya dapat ditemukan pada suatu matriks bujur sangkar, dan non singular. Dimana harus memenuhi suatu hubungan sebagai berikut :
AA-1 = I = A-1A
Dimana rumus untuk memperolah balikan dari matriks adalah :
Contoh
2. Mencari Invers dengan transformasi Elementer :
Misalnya ada suatu Matriks, Matriks A, dengan rank r, dengan transformasi elementer dapat diubah bentuknya menjadi matriks yang disebut matriks normal.
Untuk mengubah matriks A menjadi matriks normal maka diusahakan mengubah elemen dibawah diagonal a11, a22 dan a33 menjadi nol dengan transformasi elemen
baris.Dilanjutkan dengan transformasi kolom agar elemen-elemen diatas diagonal tersebut menjadi nol.
Komentar
Posting Komentar