Pengertian Baris dan Deret (Matematika)

MATERI 3

BARIS DAN DERET

URUTAN (SEQUENCES) DAN LIMITNYA

A. DEFINISI

Suatu barisan atau urutan (a sequence) adalah suatu fungsi dari suatu variabel, atau bilangan yaitu merupakan set dari bilangan, dengan urutan dan aturan yang pasti dan tetap. Jadi a sequence dengan notasi f(n) atau un mempunyai bilangan yang berurutan secara teratur atas dasar aturan yang pasti dan tetap, dimana setiap bilangan un pada sequence disebut a term:

f(n) = un = u1, u2, u3, u4, ... dan seterusnya

Contoh : 5 terms pertama dari sequences berikut ini :

* f(n) = =

* f(n) = =

* f(n) = =

* f(n) =

 

* f(n) =

Dimana 0 ! = 1; 1 ! = 1; n! = 1.2.3.4…. n.

Definite dan infinite sequences

* A difinite sequence mempunyai term terakhir,missal :

   Un = f(n) = 2 + 5(n – 1) = 5n – 3

    Dimana n = 1,2,…,7,  sehingga :

   Un = f(n) = 2,7,12,17,22,27,32

* An infinite sequence tidak mempunyai term terakhir, misal :

   Un = f(n) = 1/(2n-1) = 5n – 3

   Un = f(n) =1, 1/3, 1/5, 1/7, ….

Pada kedua contoh sequence di atas, terdapat urutan yang pasti dan tetap.

B. LIMIT OF A SEQUENCE

Lim Un = k ( suatu bilangan)

Notasi di atas menyatakan bahwa suatu bilangan k adalah limit dari an infinite sequence U1, U2, U3 …..

Limit dari sequence itu diperoleh (limit exist), apabila untuk semua bilangan bulat (integers) n > N (bilangan positif), maka │U – k │ < Ꜫ

Yaitu selisih  antara setiap trem U dari sequence terhadap angka limit semuanya lebih kecil dari angka positif Ꜫ .

Sequence mempunyai atau diperoleh limit (limit exists), disebut sequence yang menuju atau berhenti pada suatu angka atau titik (a convergent sequence) .

Sedangkan sequence yang tidak mempunyai limit merupakan sequence yang tidak menuju atau menjauh dari limit yaitu angka atau titik (a divergent sequence)

Contoh 1 :

U = 3 + 1/n = (3n + 1)/n = 4, 7/2, 10/3, … ,  maka

Contoh 2 :

U = dan  un =  dan buktinya :

Harus ditunjukkan bahwa untuk semua bilangan riil n > (semua bilangan)

[U – ] < Ꜫ Dimana Ꜫ adalah bilangan yang sangat kecil dan positif ( > 0 )

Sehingga :

Maka untuk :

Berarti :

 maka

Dengan memilih :

N = maka [U –  <

Sehingga untuk semua n > N, maka :

un =

Contoh 3 : Infinity

Berarti untuk semua n > N (bilangan positif) maka a a-

Catatan : apabila suatu sequence mempunyai atau diperoleh limit (limit exists), maka limit dimaksud ada unik (unique)

Catatan : Nested intervals

(a-b) = 0

Catatan : Cauchy’s convergence criterion

Kriteria ini menyatakan bahwa sequence u adalah convergent sequence, jika :

[Up – Uq] < untuk p & q > N (nilangan) dan

C. TEORI UNTUK LIMIT SEQUENCE (LIMITS OF SEQUENCES)

Jika a    dan   b , maka :

1. (a+b) = ab

2. (a-b) = ab

3. (a.b) = ab

4.  =  = =   

5.  a =  (an)p = Ap

Dimana p = bilangan riil

6. 

D. BOUNDED AND MONOTIC SEQUENCES

Untuk sequence {un} disebut :

-Bounded above : apabila sequence un ≤ M (angka konstan yang bebas dari n)  dan n = 1,2,3, … (bilangan bulat positif ) serta M sebagai upper bound

-Bounded below, apabila sequence un ≥ M.

-Bounded : apabila sequence m ≤ un ≤ M dan sequence sering ditunjukkan dengan [un] ≤ P.

-Monotonic increasing : apabila un+1 ≥ un dan monotic sticly increasing jika un+1 > un.

SERIES

A.DEFINISI

Suatu deret (series) adalah sequence yang mempunyai term berurutan.

Perbandingan sequence dan series :

Sequence : f(n) = un = u1, u2, u3, u4, dan seterusnya

dimana : s1 = u1

     s2 = u1+ u2

      s3 = u1 + u2 + u3

      s4 = u1 + u2 + u3 + u4 … dan seterusnya

sehingga menjadi sequence baru menjadi series :

Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + … + dan seterusnya

MATERI TAMBAHAN BARIS DAN DERET BESERTA CONTOH SOAL

Baris adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

Contoh : 1,2,3,4,5, … dst dan 3,5,7,9,11, … dst

Deret adalah pejumalahan suku – suku dari suatu barisan. Jika sesuatu

barisan : U1,U2,U3,……,Un maka U1 + U2 + U3 + ….. Un adalah deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 + 5,…..+ Un

3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + Un

BARISAN ARITMATIKA

Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan BEDA dan di lambangkan “b”

Contoh :

3,6,9,12,15.

Barisan diatas merupakan aritmatika karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu : 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 =15 -12 = 3. Nah 3 inilah yang dinamakan beda.

BENTUK UMUM BARISAN ARITMATIKA :

A,(a+b),(a+2b),(a+3b),….,(a+(n-1)b)

RUMUS :

Beda :

b = Un – Un – 1

Suku ke-n :

Un = a + (n – 1)b atau Un = Sn – Sn – 1

Ket :

a = U1 = suku pertama

b = beda

n = banyaknya suku

Un = Suku ke – n

Suku tengah barisan aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil,dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut :

Ut =

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Bentuk umum deret aritmatika :

a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …. + (a+(n-1)b)

rumus

Sn =

Atau

Sn =

Keterangan :

Sn = jumlah n suku pertama

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka :

* Beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan :

b’ =

* banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku:

n’ = n + (n-1)k

* Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku :

S’n =

Keterangan :

b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku

n’ = banyak suku barisan aritmatika baru

n = banyak suku barisan aritmatika lama

k = banyak suku yang disisipkan

sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku