MATERI 3
BARIS DAN DERET
URUTAN (SEQUENCES) DAN LIMITNYA
A. DEFINISI
Suatu barisan atau urutan (a sequence) adalahsuatu fungsi dari suatu variabel, atau bilanganyaitu merupakan set dari bilangan, denganurutan dan aturan yang pasti dan tetap. Jadi a sequence dengan notasi f(n) atau un mempunyai bilangan yang berurutan secarateratur atas dasar aturan yang pasti dan tetap, dimana setiap bilangan un pada sequence disebut a term:
f(n) = un = u1, u2, u3, u4, ... dan seterusnya
Contoh : 5 terms pertama dari sequences berikut ini :
* f(n) = =
* f(n) = =
* f(n) = =
* f(n) =
* f(n) =
Dimana 0 ! = 1;1 ! = 1;n! = 1.2.3.4…. n.
Definite dan infinite sequences
* A difinite sequence mempunyai term terakhir,missal :
Un = f(n) = 2 + 5(n – 1) = 5n – 3
Dimana n = 1,2,…,7, sehingga :
Un = f(n) = 2,7,12,17,22,27,32
* An infinite sequence tidak mempunyai term terakhir, misal :
Un = f(n) = 1/(2n-1) = 5n – 3
Un = f(n) =1, 1/3, 1/5, 1/7, ….
Pada kedua contoh sequence di atas, terdapaturutan yang pasti dan tetap.
B. LIMIT OF A SEQUENCE
Lim Un = k ( suatu bilangan)
Notasi di atas menyatakan bahwa suatu bilangan k adalah limit dari an infinite sequence U1, U2, U3 …..
Limit dari sequence itu diperoleh (limit exist), apabila untuk semua bilangan bulat (integers) n > N (bilangan positif), maka │U – k │ < Ꜫ
Yaitu selisih antara setiap trem U dari sequence terhadap angka limit semuanya lebih kecil dari angkapositif Ꜫ .
Sequence mempunyai atau diperoleh limit (limit exists), disebut sequence yang menuju atau berhentipada suatu angka atau titik (a convergent sequence) .
Sedangkan sequence yang tidak mempunyai limit merupakan sequence yang tidak menuju ataumenjauh dari limit yaitu angka atau titik (a divergent sequence)
Contoh 1 :
U = 3 + 1/n = (3n + 1)/n = 4, 7/2, 10/3, … , maka
Contoh 2 :
U = dan un = dan buktinya :
Harus ditunjukkan bahwa untuk semua bilanganriil n > (semua bilangan)
[U – ] < Ꜫ Dimana Ꜫ adalah bilangan yang sangatkecil dan positif ( > 0 )
Sehingga :
Maka untuk :
Berarti :
maka
Dengan memilih :
N = maka [U – <
Sehingga untuk semua n > N, maka :
un =
Contoh 3 : Infinity
Berarti untuk semua n > N (bilangan positif) maka aa-
Catatan : apabila suatu sequence mempunyai ataudiperoleh limit (limit exists), maka limit dimaksudada unik (unique)
Catatan : Nested intervals
(a-b) = 0
Catatan : Cauchy’s convergence criterion
Kriteria ini menyatakan bahwa sequence u adalah convergent sequence, jika :
[Up – Uq] < untuk p & q > N (nilangan) dan
C. TEORI UNTUK LIMIT SEQUENCE (LIMITS OF SEQUENCES)
Jika a dan b , maka :
1. (a+b) = ab
2. (a-b) = ab
3. (a.b) = ab
4. = = =
5. a = (an)p = Ap
Dimana p = bilangan riil
6.
D. BOUNDED AND MONOTIC SEQUENCES
Untuk sequence {un} disebut :
-Bounded above : apabila sequence un ≤ M (angkakonstan yang bebas dari n) dan n = 1,2,3, … (bilangan bulat positif ) serta M sebagai upper bound
-Bounded below, apabila sequence un ≥ M.
-Bounded : apabila sequence m ≤ un ≤ M dan sequence sering ditunjukkan dengan [un] ≤ P.
-Monotonic increasing : apabila un+1 ≥ un dan monotic sticly increasing jika un+1 > un.
SERIES
A.DEFINISI
Suatu deret (series) adalah sequence yang mempunyai term berurutan.
Perbandingan sequence dan series :
Sequence : f(n) = un = u1, u2, u3, u4, dan seterusnya
dimana : s1 = u1
s2 = u1+ u2
s3 = u1 + u2 + u3
s4 = u1 + u2 + u3 + u4 … dan seterusnya
sehingga menjadi sequence baru menjadi series :
Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + … + dan seterusnya
MATERI TAMBAHAN BARIS DAN DERET BESERTA CONTOH SOAL
Baris adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kananyang mempunyai pola tertentu. Setiap bilangandalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh : 1,2,3,4,5, … dst dan 3,5,7,9,11, … dst
Deret adalah pejumalahan suku – suku dari suatubarisan. Jika sesuatu
barisan : U1,U2,U3,……,Un maka U1 + U2 + U3 + ….. Un adalah deret.
Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 + 5,…..+ Un
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + Un
BARISAN ARITMATIKA
Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antaradua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebutdinamakan BEDA dan di lambangkan “b”
Contoh :
3,6,9,12,15.
Barisan diatas merupakan aritmatika karena selisih dari setiapsuku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu : 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 =15 -12 = 3. Nah 3 inilah yang dinamakan beda.
A,(a+b),(a+2b),(a+3b),….,(a+(n-1)b)
RUMUS :
Beda :
b = Un – Un – 1
Suku ke-n :
Un = a + (n – 1)b atau Un = Sn – Sn – 1
Ket :
a = U1 = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku
Un = Suku ke – n
Suku tengah barisan aritmatika
Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil,dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un makasuku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut :
Ut =
Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisanaritmatika. Bentuk umum deret aritmatika :
a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …. + (a+(n-1)b)
rumus
Sn =
Atau
Sn =
Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama
Sisipan pada Barisan Aritmatika
Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buahbilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatikabaru, maka :
* Beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku akanberubah dan dirumuskan :
b’ =
* banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buahsuku:
n’ = n + (n-1)k
* Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku :
S’n =
Keterangan :
b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku
Komentar
Posting Komentar